สมดุลไฮโดรสแตติก

ในกลศาสตร์ของไหล , สภาวะสมดุลอุทกสถิตหรือสมดุลไฮโดรลิก (ยังเป็นที่รู้จักในฐานะhydrostasy ) [1] [2]เป็นเงื่อนไขของการเป็นของเหลวหรือพลาสติกแข็งที่เหลือ นี้เกิดขึ้นเมื่อกองกำลังภายนอกเช่นแรงโน้มถ่วง[ ต้องการอ้างอิง ]มีความสมดุลโดยแรงดันการไล่ระดับสี [3]ตัวอย่างเช่นแรงดันไล่ระดับจะป้องกันไม่ให้แรงโน้มถ่วงยุบชั้นบรรยากาศของโลกลงในเปลือกที่บางและหนาแน่นในขณะที่แรงโน้มถ่วงป้องกันไม่ให้แรงไล่ระดับความดันกระจายชั้นบรรยากาศสู่อวกาศ

สมดุลที่หยุดนิ่งเป็นเกณฑ์ที่แตกต่างระหว่างดาวเคราะห์แคระและขนาดเล็กระบบสุริยะและมีบทบาทอื่น ๆ ในฟิสิกส์ดาราศาสตร์และธรณีวิทยาของดาวเคราะห์ คุณสมบัตินี้หมายความว่าวัตถุที่ถูกปัดเศษแฟ่เป็นทรงรีรูปร่างที่คุณสมบัติพื้นผิวใด ๆ ที่ผิดปกติที่เกิดจากการที่เป็นของแข็งค่อนข้างบางเปลือกโลก นอกจากดวงอาทิตย์แล้วยังมีวัตถุสมดุลอีกหลายสิบชิ้นหรือมากกว่านั้นที่ได้รับการยืนยันว่ามีอยู่ในระบบสุริยะโดยมีวัตถุอื่น ๆ

หากปริมาตรของของไหลที่ไฮไลต์ไม่เร่งความเร็วแรงที่ขึ้นไปจะต้องเท่ากับแรงลงด้านล่าง

สำหรับของเหลวที่หยุดนิ่งบนโลก:

ที่มาจากการรวมกำลัง

กฎการเคลื่อนที่ของนิวตันระบุว่าปริมาตรของของไหลที่ไม่เคลื่อนที่หรืออยู่ในสถานะของความเร็วคงที่จะต้องมีแรงสุทธิเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าผลรวมของกองกำลังในทิศทางที่กำหนดจะต้องถูกต่อต้านด้วยผลรวมของกองกำลังที่เท่ากันในทิศทางตรงกันข้าม สมดุลของแรงนี้เรียกว่าสมดุลไฮโดรสแตติก

ของเหลวสามารถแบ่งออกเป็นองค์ประกอบปริมาตรทรงลูกบาศก์จำนวนมาก โดยพิจารณาจากองค์ประกอบเดียวการกระทำของของเหลวจะได้มา

มี 3 กองกำลังคือ: ลงแรงลงบนด้านบนของลูกบาศก์จากความดันที่, P, ของของเหลวข้างต้นนั้นคือจากความหมายของความดัน ,

ในทำนองเดียวกันแรงขององค์ประกอบปริมาตรจากความดันของของเหลวด้านล่างที่ดันขึ้นไปคือ

ในที่สุดน้ำหนักขององค์ประกอบปริมาตรทำให้เกิดแรงลง ถ้าความหนาแน่นเป็นρปริมาตรคือ V และ g ของแรงโน้มถ่วงมาตรฐานแล้ว:

ปริมาตรของลูกบาศก์นี้เท่ากับพื้นที่ด้านบนหรือด้านล่างคูณความสูง - สูตรการหาปริมาตรของลูกบาศก์

โดยการปรับสมดุลของแรงเหล่านี้แรงทั้งหมดที่มีต่อของไหลคือ

ผลรวมนี้จะเท่ากับศูนย์ถ้าความเร็วของของไหลคงที่ หารด้วย A

หรือ,

P top - P bottomคือการเปลี่ยนแปลงของความดันและ h คือความสูงขององค์ประกอบปริมาตร - การเปลี่ยนแปลงของระยะทางเหนือพื้นดิน โดยกล่าวว่าการเปลี่ยนแปลงเหล่านี้กระจิริดขนาดเล็กสมการที่สามารถเขียนได้ในค่ารูปแบบ

ความหนาแน่นเปลี่ยนแปลงไปตามความดันและแรงโน้มถ่วงเปลี่ยนแปลงตามความสูงดังนั้นสมการจะเป็น:

มาจากสมการ Navier – Stokes

สุดท้ายโปรดทราบว่าสมการสุดท้ายนี้สามารถหาได้จากการแก้สมการ Navier – Stokesสามมิติสำหรับสถานการณ์สมดุลที่

จากนั้นสมการที่ไม่สำคัญเพียงอย่างเดียวคือ -equation ซึ่งตอนนี้อ่าน

ดังนั้นสมดุลไฮโดรสแตติกจึงถือได้ว่าเป็นวิธีแก้ปัญหาสมดุลอย่างง่ายของสมการเนเวียร์ - สโตกส์

ที่มาจากทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไป

โดยการเสียบเทนเซอร์โมเมนตัมพลังงานเพื่อให้ได้ของไหลที่สมบูรณ์แบบ

ในสมการสนามไอน์สไตน์

และใช้สภาพการอนุรักษ์

เราสามารถได้สมการของโทลแมน - ออปเพนไฮเมอร์ - โวลคอฟฟ์สำหรับโครงสร้างของดาวสัมพัทธภาพทรงกลมที่คงที่และสมมาตรในพิกัดไอโซทรอปิก:

ในทางปฏิบัติΡและρมีความสัมพันธ์กันโดยสมการสถานะของรูปแบบf ( Ρ , ρ ) = 0 โดยfเฉพาะสำหรับการสร้างดาว M ( r ) คือรูพรุนของทรงกลมที่ถ่วงน้ำหนักด้วยความหนาแน่นของมวลρ ( r ) โดยทรงกลมที่ใหญ่ที่สุดมีรัศมีr :

ตามขั้นตอนมาตรฐานในการกำหนดขีด จำกัด แบบไม่สัมพันธ์กันเราปล่อยให้c →∞เพื่อให้ตัวประกอบ

ดังนั้นในการ จำกัด แบบไม่สัมพันธ์กันสมการ Tolman – Oppenheimer – Volkoff จะลดลงเป็นดุลยภาพของนิวตัน:

(เราได้ทำการเปลี่ยนแปลงสัญกรณ์เล็กน้อยh = rและใช้f ( Ρ , ρ ) = 0 เพื่อแสดงρในรูปของP ) [4]สมการที่คล้ายกันนี้สามารถคำนวณได้สำหรับการหมุนของดาวที่สมมาตรตามแนวแกนซึ่งในรูปแบบอิสระของมาตรวัดอ่านว่า:

ซึ่งแตกต่างจากสมการสมดุล TOV คือสองสมการ (ตัวอย่างเช่นถ้าตามปกติในการรักษาดาวเราจะเลือกพิกัดทรงกลมเป็นพิกัดพื้นฐาน ดัชนีที่ฉันใช้สำหรับพิกัดrและ).